フェルマー の 最終 定理 答え。 フェルマーの最終定理とは (フェルマーノサイシュウテイリとは) [単語記事]

フェルマーの小定理の証明と使い方

フェルマー の 最終 定理 答え

せやけど、それを書くには、 この余白は狭すぎる! こんな思わせぶりなメモを残し、 その証明方法を示さず死んでしまったフェルマー。 そのフェルマーの死後から、 100年あまりの時が過ぎた……。 だが、たくさんの数学者の努力にも関わらず、 それだけの時間が経過しても、 フェルマーの最終定理の証明方法を 見つけたものは、誰もいなかった。 しかし! 1700年代に入り、当時、最大最高の数学者であった オイラーが、 ついに、そのフェルマーの最終定理の突破口を開くことになる。 はっきり言っておくが、 オイラーは半端な数学者ではない! まさに、オイラーは 「 計算するために生まれてきた」 と言われるぐらい、天才的な数学の申し子だった。 「 人が息をするように、鳥が空を飛ぶように、オイラーは計算をする」 と評されるオイラーは、とにかく、計算が速く、長大な計算を暗算で 簡単にやってのけることができた。 しかも、彼は、 「 片手でゆりかごを揺らしながら、 もう一方の手で数学の論文を書いている」 と評されるほど、その天才的才能を一時も無駄にせず、 人生のすべてを数学に費やしたのだった。 その結果、彼が生涯で残した論文は、800以上もの数に達し、 それは未だ誰にも破られることのない数学史上の最高記録であり、 これらの論文が数学界に与えた貢献は計り知れない。 そんな数学的才能に満ち溢れ、あっというまに数学の証明を解いて、 次から次へと論文を書き続けるオイラーだが、 彼の本当に驚くべき才能は、その桁外れの「 集中力」にあった。 こんなエピソードがある。 オイラーが28歳のとき、 ある天文学の問題が、懸賞にかけられた。 その問題は、多くの数学者が 「何ヶ月もかけても、解けるかどうか…」 と尻込みするほどの難問だったのだが、 オイラーは、ぶっとおしで、その問題に取り組み続け、 ほんの3日ほどで、その問題を解決してしまったのだった。 だが、オイラーは、不眠不休で数学をやり続けた結果、 その代償として、 片目を失うことになる。 しかし、数学のやりすぎで、目まで潰してしまったにもかかわらず、 「 おかげで気が散らなくなった。 前より数学の研究に打ち込める」 とさえ述べている。 こうして、その身すら いとわない驚くべき集中力で、 次から次へと数学の論文を大量生産していくオイラーだが、 60歳になったとき、ついに、 もう一方の目も潰れてしまうことになる。 だが、たとえ盲目になっても、オイラーの数学は止まらなかった。 とっくに、引退してもおかしくない高齢にもかかわらず、 オイラーは、目が見えなくても、数学ができるように、 文字を書く特訓すら始めたのだった。 結局、目が見えなくなってからのオイラーの数学は、 むしろ、目が見えたときよりも、 「 より独創的で生産的になった」と言われるほどにまで、 高みへと上っていくのである。 たとえば、現代のコンピュータでよくやるアルゴリズム的な計算方法は、 オイラーが目が見えなくなってから考え出されたものだ。 オイラーが発明した計算方法をつかえば、 とても解けそうもない複雑な方程式があったとしても、 「 まず、テキトーに大雑把な答えを見つける。 次に、その答えを使って、もう少し精度の良い答えを導き出す。 そして、さらにその答えを使って、もっと精度の良い答えを…」 というのを100回ほど繰り返して、ある問題の近似解を見つける、 という、当時としては奇跡的なまでに画期的な方法を考え出している。 (そして、その計算をオイラーは目がみえないまま、 パッとやってしまうのだった) オイラーの時代には、すでに数学は、科学の道具として使われており、 船の設計から運行まで、数学に基づいて行われていた。 したがって、「 厳密な答え」ではないが、 「 実用的には十分使える精度の答え」 が出せるオイラーの計算方法は、当時の人々の生活にとって、 本当に価値のあるものだった。 そして、70歳を越えて、ついにオイラーも死を迎える。 だが、その死の当日すら、数学の研究に没頭していたという…。 後世の人は、オイラーの死をこう表現している。 「 その瞬間、オイラーは、生きることと、計算することをやめたのだ」 そんな人生のすべてを数学に費やした天才数学者オイラーが、 フェルマーの最終定理の証明に挑み、最初の突破口を開いた。 そもそも、フェルマー最終定理は、 X 3+Y 3=Z 3 X 4+Y 4=Z 4 X 5+Y 5=Z 5 … という無限に続く方程式について、 「 解がない」ということを述べているわけだが、 これについて、オイラーは、 「 まず、そのうちの、ひとつの方程式について、解がないことを証明し、 それが別の方程式についても成り立つことを証明する」 という戦略で解決しようと考えていた。 つまり、「 X 4+Y 4=Z 4を満たす自然数 X、Y、Zは存在しない」 という証明のヒントを残していたのだ。 さてさて。 すべての整数は、素数の倍数で表現できる。 (素数とは、5 , 7 , 11 など、1 と自分自身でしか割り切れない数だ) どんな数だろうと、必ず素数の掛け算で表現することができる。 と、ここまでフェルマーの最終定理を追い詰めることに、 成功したオイラーだったが、 さすがの天才もここで証明を断念し、 フェルマーの最終定理に膝を屈するのだった。 さらなる進展は、次なる数学者の登場を待つことになる。 それまでフェルマーの最終定理は静かに眠り続ける…。

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「フェルマーの最終定理」最もわかりやすく難解な問題はいかに証明されたか

フェルマー の 最終 定理 答え

今回はの面白い話題の 1 つである を中心に、周辺の話題を紹介していきます。 はじめに 整数論はとても楽しいです。 最近では大学受験においても整数論の出題が目立つようになりましたし、計算機科学においても整数論の知見を根底に使っているものが多々あります。 整数論はパズルのような楽しさがあるだけでなく、暗号理論など誤り訂正符号など、実用上も重要なものになっています。 Fermat の小定理はそんな初等整数論の中核を成すもので、その証明方法も、使い方も、とても興味深いです。 本記事では Fermat の小定理を中心として、周辺話題を整理してみます。 Fermat の小定理とは 初等整数論の華とも言うべき楽しい定理です。 唐突ですが、掛け算九九ならぬ、掛け算六六を考えます。 この性質は後で示すとして、まずはこの性質を用いて Fermat の小定理を導きます。 比較的簡単な議論で証明できてしまいます。 証明終 とてもシンプルな短い議論で証明できました。 この性質は以下の重要な事実を表しています。 その話題について詳しくは• を読んでいただけたらと思います。 Fermat の小定理の応用例 Fermat の小定理を用いてできることについて、紹介していきます。 4-1: 逆元を計算する 面白いことに、Fermat の小定理の証明のために登場した「 逆元」を、Fermat の小定理によって計算することができます。 なお逆元を計算する他の方法として 拡張 Euclid の互除法を用いた方法があります。 詳しくはを読んでいただけたらと思います。 4-2. 「3 の 100 乗を 19 で割ったあまり」を手計算する このネタは tsujimotter さんの• とても面白い記事なので是非読んでみてください。 また、本節の内容は「手計算」を前提としています。 コンピュータで「3 の 100 乗を 19 で割ったあまり」を計算しようと思ったら、素直に 100 回掛け算するか、を用いるのがよいです。 4-3. 比較的手軽に整数論的考察が楽しめる話題なのでたくさん解説記事があります:• 高校数学の美しい物語さん• tsujimotter さん• もっちょさん レプユニット数について、以下の面白い性質が知られています。 以上で示せました。 4-4. mod. p における多項式の解の個数 この節の内容は少し難しくなります。 以下の問題を考えてみます。 この問題は実は• で出題されている問題で、答えを求めるプログラムを書いて提出することでジャッジできます。 よって、• ここで Fermat の小定理を用います。 多項式に対しても がそのまま適用できます。 そこで Euclid の互除法の最初のステップだけ工夫します。 つまり、• 少々長い議論になりましたが、以下のリンク先のコードで正解を取ることができました。 4-5. その他の問題 で過去に出題された Fermat の小定理に関係する問題たちを挙げます。 少し難しめの問題が多いです。 レプユニット数を題材にした手頃な問題です• この問題の原案担当でした、整数論的考察を総動員します• Fermat の小定理から、カタラン数を 1000000122 で割ったあまりを求める問題に帰着します• 少し難しめですが面白いです、中国剰余定理も使います• かなり難しいですが面白いです 5. おわりに 初等整数論の華である Fermat の小定理について特集しました。 証明方法が整数論における重要な性質に基づいているだけでけでなく、使い道も色々ある面白い定理です。 最後に Fermat の小定理に関係する発展的トピックをいくつか紹介して締めたいと思います。 これを合成数の場合に拡張したのが以下の Euler の定理です。 証明は Fermat の小定理をほんの少し修正するだけでできます。 この周期のことを 位数と呼びます。 この指数を用いると、初等整数論の様々な面白い定理を示すことができます。 また原始根の重要な応用例として、 高速フーリエ変換 FFT における数値誤差をなくすための技術として知られる 高速剰余変換 NTT があります。 NTT も整数論の実応用例として面白いものだと思います。 NTT 系列に勤めていることもあって結構好きなアルゴリズムなので、近いうちに NTT に関する記事も書きたいです。

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フェルマーの最終定理とは?わかりやすく5分で解説

フェルマー の 最終 定理 答え

せやけど、それを書くには、 この余白は狭すぎる! こんな思わせぶりなメモを残し、 その証明方法を示さず死んでしまったフェルマー。 そのフェルマーの死後から、 100年あまりの時が過ぎた……。 だが、たくさんの数学者の努力にも関わらず、 それだけの時間が経過しても、 フェルマーの最終定理の証明方法を 見つけたものは、誰もいなかった。 しかし! 1700年代に入り、当時、最大最高の数学者であった オイラーが、 ついに、そのフェルマーの最終定理の突破口を開くことになる。 はっきり言っておくが、 オイラーは半端な数学者ではない! まさに、オイラーは 「 計算するために生まれてきた」 と言われるぐらい、天才的な数学の申し子だった。 「 人が息をするように、鳥が空を飛ぶように、オイラーは計算をする」 と評されるオイラーは、とにかく、計算が速く、長大な計算を暗算で 簡単にやってのけることができた。 しかも、彼は、 「 片手でゆりかごを揺らしながら、 もう一方の手で数学の論文を書いている」 と評されるほど、その天才的才能を一時も無駄にせず、 人生のすべてを数学に費やしたのだった。 その結果、彼が生涯で残した論文は、800以上もの数に達し、 それは未だ誰にも破られることのない数学史上の最高記録であり、 これらの論文が数学界に与えた貢献は計り知れない。 そんな数学的才能に満ち溢れ、あっというまに数学の証明を解いて、 次から次へと論文を書き続けるオイラーだが、 彼の本当に驚くべき才能は、その桁外れの「 集中力」にあった。 こんなエピソードがある。 オイラーが28歳のとき、 ある天文学の問題が、懸賞にかけられた。 その問題は、多くの数学者が 「何ヶ月もかけても、解けるかどうか…」 と尻込みするほどの難問だったのだが、 オイラーは、ぶっとおしで、その問題に取り組み続け、 ほんの3日ほどで、その問題を解決してしまったのだった。 だが、オイラーは、不眠不休で数学をやり続けた結果、 その代償として、 片目を失うことになる。 しかし、数学のやりすぎで、目まで潰してしまったにもかかわらず、 「 おかげで気が散らなくなった。 前より数学の研究に打ち込める」 とさえ述べている。 こうして、その身すら いとわない驚くべき集中力で、 次から次へと数学の論文を大量生産していくオイラーだが、 60歳になったとき、ついに、 もう一方の目も潰れてしまうことになる。 だが、たとえ盲目になっても、オイラーの数学は止まらなかった。 とっくに、引退してもおかしくない高齢にもかかわらず、 オイラーは、目が見えなくても、数学ができるように、 文字を書く特訓すら始めたのだった。 結局、目が見えなくなってからのオイラーの数学は、 むしろ、目が見えたときよりも、 「 より独創的で生産的になった」と言われるほどにまで、 高みへと上っていくのである。 たとえば、現代のコンピュータでよくやるアルゴリズム的な計算方法は、 オイラーが目が見えなくなってから考え出されたものだ。 オイラーが発明した計算方法をつかえば、 とても解けそうもない複雑な方程式があったとしても、 「 まず、テキトーに大雑把な答えを見つける。 次に、その答えを使って、もう少し精度の良い答えを導き出す。 そして、さらにその答えを使って、もっと精度の良い答えを…」 というのを100回ほど繰り返して、ある問題の近似解を見つける、 という、当時としては奇跡的なまでに画期的な方法を考え出している。 (そして、その計算をオイラーは目がみえないまま、 パッとやってしまうのだった) オイラーの時代には、すでに数学は、科学の道具として使われており、 船の設計から運行まで、数学に基づいて行われていた。 したがって、「 厳密な答え」ではないが、 「 実用的には十分使える精度の答え」 が出せるオイラーの計算方法は、当時の人々の生活にとって、 本当に価値のあるものだった。 そして、70歳を越えて、ついにオイラーも死を迎える。 だが、その死の当日すら、数学の研究に没頭していたという…。 後世の人は、オイラーの死をこう表現している。 「 その瞬間、オイラーは、生きることと、計算することをやめたのだ」 そんな人生のすべてを数学に費やした天才数学者オイラーが、 フェルマーの最終定理の証明に挑み、最初の突破口を開いた。 そもそも、フェルマー最終定理は、 X 3+Y 3=Z 3 X 4+Y 4=Z 4 X 5+Y 5=Z 5 … という無限に続く方程式について、 「 解がない」ということを述べているわけだが、 これについて、オイラーは、 「 まず、そのうちの、ひとつの方程式について、解がないことを証明し、 それが別の方程式についても成り立つことを証明する」 という戦略で解決しようと考えていた。 つまり、「 X 4+Y 4=Z 4を満たす自然数 X、Y、Zは存在しない」 という証明のヒントを残していたのだ。 さてさて。 すべての整数は、素数の倍数で表現できる。 (素数とは、5 , 7 , 11 など、1 と自分自身でしか割り切れない数だ) どんな数だろうと、必ず素数の掛け算で表現することができる。 と、ここまでフェルマーの最終定理を追い詰めることに、 成功したオイラーだったが、 さすがの天才もここで証明を断念し、 フェルマーの最終定理に膝を屈するのだった。 さらなる進展は、次なる数学者の登場を待つことになる。 それまでフェルマーの最終定理は静かに眠り続ける…。

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